Решить x^2-14x+19=4

$${ x }^{ 2 } -14x+19=4$$

Найдите x

$$x=\sqrt{34}+7\approx 12,830951895$$

$$x=7-\sqrt{34}\approx 1,169048105$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-14x+19=4$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-14x+19-4=4-4$$

Если из 4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-14x+19-4=0$$

Вычтите 4 из 19.

$$x^{2}-14x+15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -14 вместо b и 15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 15}}{2}$$

Умножьте -4 на 15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-60}}{2}$$

Прибавьте 196 к -60.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{136}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 136.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{34}}{2}$$

Число, противоположное -14, равно 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 14 к 2\sqrt{34}.

$$x=\frac{2\sqrt{34}+14}{2}$$

Разделите 14+2\sqrt{34} на 2.

$$x=\sqrt{34}+7$$

Решите уравнение x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{34} из 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{34}}{2}$$

Разделите 14-2\sqrt{34} на 2.

$$x=7-\sqrt{34}$$

Уравнение решено.

$$x=\sqrt{34}+7 x=7-\sqrt{34}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x+19=4$$

Вычтите 19 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-14x+19-19=4-19$$

Если из 19 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-14x=4-19$$

Вычтите 19 из 4.

$$x^{2}-14x=-15$$

Деление -14, коэффициент x термина, 2 для получения -7. Затем добавьте квадрат -7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-15+\left(-7\right)^{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x^{2}-14x+49=-15+49$$

Прибавьте -15 к 49.

$$x^{2}-14x+49=34$$

Коэффициент x^{2}-14x+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=34$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{34}$$

Упростите.

$$x-7=\sqrt{34} x-7=-\sqrt{34}$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$x=\sqrt{34}+7 x=7-\sqrt{34}$$