Решить x^2-115x+5046=0

$${ x }^{ 2 } -115x+5046=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2}\approx 57,5+41,710310476i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}\approx 57,5-41,710310476i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-115x+5046=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -115 вместо b и 5046 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{\left(-115\right)^{2}-4\times 5046}}{2}$$

Возведите -115 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-4\times 5046}}{2}$$

Умножьте -4 на 5046.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-20184}}{2}$$

Прибавьте 13225 к -20184.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{-6959}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -6959.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{6959}i}{2}$$

Число, противоположное -115, равно 115.

$$x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 115 к i\sqrt{6959}.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{6959} из 115.

$$x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-115x+5046=0$$

Вычтите 5046 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-115x+5046-5046=-5046$$

Если из 5046 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-115x=-5046$$

Разделите -115, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{115}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{115}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-115x+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}=-5046+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{115}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-5046+\frac{13225}{4}$$

Прибавьте -5046 к \frac{13225}{4}.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-\frac{6959}{4}$$

Разложите x^{2}-115x+\frac{13225}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}=-\frac{6959}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6959}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{115}{2}=\frac{\sqrt{6959}i}{2} x-\frac{115}{2}=-\frac{\sqrt{6959}i}{2}$$

Прибавьте \frac{115}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$