Решить x^2-115x+4254=0

$${ x }^{ 2 } -115x+4254=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2}\approx 57,5+30,785548558i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}\approx 57,5-30,785548558i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-115x+4254=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -115 вместо b и 4254 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{\left(-115\right)^{2}-4\times 4254}}{2}$$

Возведите -115 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-4\times 4254}}{2}$$

Умножьте -4 на 4254.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-17016}}{2}$$

Прибавьте 13225 к -17016.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{-3791}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -3791.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{3791}i}{2}$$

Число, противоположное -115, равно 115.

$$x=\frac{115±\sqrt{3791}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{115±\sqrt{3791}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 115 к i\sqrt{3791}.

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{115±\sqrt{3791}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{3791} из 115.

$$x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-115x+4254=0$$

Вычтите 4254 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-115x+4254-4254=-4254$$

Если из 4254 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-115x=-4254$$

Деление -115, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{115}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{115}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-115x+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}=-4254+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{115}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-4254+\frac{13225}{4}$$

Прибавьте -4254 к \frac{13225}{4}.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-\frac{3791}{4}$$

Коэффициент x^{2}-115x+\frac{13225}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}=-\frac{3791}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3791}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{115}{2}=\frac{\sqrt{3791}i}{2} x-\frac{115}{2}=-\frac{\sqrt{3791}i}{2}$$

Прибавьте \frac{115}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}$$