Решить x^2-10x+11=0

$${ x }^{ 2 } -10x+11=0$$

Найдите x

$$x=\sqrt{14}+5\approx 8,741657387$$

$$x=5-\sqrt{14}\approx 1,258342613$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-10x+11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -10 вместо b и 11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11}}{2}$$

Умножьте -4 на 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44}}{2}$$

Прибавьте 100 к -44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{56}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{14}}{2}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+10}{2}$$

Разделите 10+2\sqrt{14} на 2.

$$x=\sqrt{14}+5$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{14} из 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{14}}{2}$$

Разделите 10-2\sqrt{14} на 2.

$$x=5-\sqrt{14}$$

Уравнение решено.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+11=0$$

Вычтите 11 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-10x+11-11=-11$$

Если из 11 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-10x=-11$$

Деление -10, коэффициент x термина, 2 для получения -5. Затем добавьте квадрат -5 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-11+\left(-5\right)^{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x^{2}-10x+25=-11+25$$

Прибавьте -11 к 25.

$$x^{2}-10x+25=14$$

Коэффициент x^{2}-10x+25. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=14$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Упростите.

$$x-5=\sqrt{14} x-5=-\sqrt{14}$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$