Решить x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 1 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Прибавьте 1 к -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{3} из -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+x=-1$$

Разделите 1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Прибавьте -1 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Разложите x^{2}+x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$