Решить x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2,5-0,866025404i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 5 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Прибавьте 25 к -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{3} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+5x=-7$$

Деление 5, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Прибавьте -7 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Коэффициент x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Вычтите \frac{5}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$