Решить x^2+4x-192=0

$${ x }^{ 2 } +4x-192=0$$

Найдите x

$$x=-16$$

$$x=12$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+4x-192 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=4 ab=-192$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -192.

$$-1,192 -2,96 -3,64 -4,48 -6,32 -8,24 -12,16$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+192=191 -2+96=94 -3+64=61 -4+48=44 -6+32=26 -8+24=16 -12+16=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 4.

$$a=-12 b=16$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-12\right)\left(x+16\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и x+16=0у.

$$x=12 x=-16$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-192. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=4 ab=1\left(-192\right)=-192$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -192.

$$-1,192 -2,96 -3,64 -4,48 -6,32 -8,24 -12,16$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+192=191 -2+96=94 -3+64=61 -4+48=44 -6+32=26 -8+24=16 -12+16=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 4.

$$a=-12 b=16$$

Перепишите x^{2}+4x-192 как \left(x^{2}-12x\right)+\left(16x-192\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(16x-192\right)$$

Разложите x в первом и 16 в второй группе.

$$x\left(x-12\right)+16\left(x-12\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-12\right)\left(x+16\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и x+16=0у.

$$x=12 x=-16$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+4x-192=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 4 вместо b и -192 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-192\right)}}{2}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-192\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -192.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+768}}{2}$$

Прибавьте 16 к 768.

$$x=\frac{-4±\sqrt{784}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 784.

$$x=\frac{-4±28}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±28}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 28.

$$x=\frac{24}{2}$$

Разделите 24 на 2.

$$x=12$$

Решите уравнение x=\frac{-4±28}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 28 из -4.

$$x=-\frac{32}{2}$$

Разделите -32 на 2.

$$x=-16$$

Уравнение решено.

$$x=12 x=-16$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-192=0$$

Прибавьте 192 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+4x-192-\left(-192\right)=-\left(-192\right)$$

Если из -192 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-192\right)$$

Вычтите -192 из 0.

$$x^{2}+4x=192$$

Деление 4, коэффициент x термина, 2 для получения 2. Затем добавьте квадрат 2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+4x+2^{2}=192+2^{2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x^{2}+4x+4=192+4$$

Прибавьте 192 к 4.

$$x^{2}+4x+4=196$$

Коэффициент x^{2}+4x+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=196$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{196}$$

Упростите.

$$x+2=14 x+2=-14$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$x=12 x=-16$$