Решить x^2+3x-65=0

$${ x }^{ 2 } +3x-65=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{269} - 3}{2} \approx 6,700609733$$

$$x=\frac{-\sqrt{269}-3}{2}\approx -9,700609733$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+3x-65=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 3 вместо b и -65 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-65\right)}}{2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-65\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -65.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+260}}{2}$$

Прибавьте 9 к 260.

$$x=\frac{-3±\sqrt{269}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{269}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к \sqrt{269}.

$$x=\frac{\sqrt{269}-3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{269}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{269} из -3.

$$x=\frac{-\sqrt{269}-3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{269}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{269}-3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-65=0$$

Прибавьте 65 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+3x-65-\left(-65\right)=-\left(-65\right)$$

Если из -65 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-65\right)$$

Вычтите -65 из 0.

$$x^{2}+3x=65$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=65+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=65+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 65 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{269}{4}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{269}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{269}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{269}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{269}}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{269}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{269}-3}{2}$$