Решить x^2+3x-180=0

$${ x }^{ 2 } +3x-180=0$$

Найдите x

$$x=-15$$

$$x=12$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+3x-180 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=3 ab=-180$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -180 продукта.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-12 b=15$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-180. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -180 продукта.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-12 b=15$$

Перепишите x^{2}+3x-180 как \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 15 во второй группе.

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 3 вместо b и -180 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -180.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

Прибавьте 9 к 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 729.

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±27}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 27.

$$x=\frac{24}{2}$$

Разделите 24 на 2.

$$x=12$$

Решите уравнение x=\frac{-3±27}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 27 из -3.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Разделите -30 на 2.

$$x=-15$$

Уравнение решено.

$$x=12 x=-15$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Прибавьте 180 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Если из -180 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-180\right)$$

Вычтите -180 из 0.

$$x^{2}+3x=180$$

Разделите 3, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 180 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Разложите x^{2}+3x+\frac{9}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=12 x=-15$$