Решить x^2+34x+240=0

$${ x }^{ 2 } +34x+240=0$$

Найдите x

$$x=-24$$

$$x=-10$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+34x+240 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=34 ab=240$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 240.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 34.

$$a=10 b=24$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+10=0 и x+24=0у.

$$x=-10 x=-24$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+240. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=34 ab=1\times 240=240$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 240.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 34.

$$a=10 b=24$$

Перепишите x^{2}+34x+240 как \left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right).

$$\left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right)$$

Разложите x в первом и 24 в второй группе.

$$x\left(x+10\right)+24\left(x+10\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+10=0 и x+24=0у.

$$x=-10 x=-24$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 34 вместо b и 240 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 240}}{2}$$

Возведите 34 в квадрат.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 240}}{2}$$

Умножьте -4 на 240.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-960}}{2}$$

Прибавьте 1156 к -960.

$$x=\frac{-34±\sqrt{196}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-34±14}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-34±14}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -34 к 14.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Разделите -20 на 2.

$$x=-10$$

Решите уравнение x=\frac{-34±14}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из -34.

$$x=-\frac{48}{2}$$

Разделите -48 на 2.

$$x=-24$$

Уравнение решено.

$$x=-10 x=-24$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Вычтите 240 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+34x+240-240=-240$$

Если из 240 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+34x=-240$$

Деление 34, коэффициент x термина, 2 для получения 17. Затем добавьте квадрат 17 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+34x+17^{2}=-240+17^{2}$$

Возведите 17 в квадрат.

$$x^{2}+34x+289=-240+289$$

Прибавьте -240 к 289.

$$x^{2}+34x+289=49$$

Коэффициент x^{2}+34x+289. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=49$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Упростите.

$$x+17=7 x+17=-7$$

Вычтите 17 из обеих частей уравнения.

$$x=-10 x=-24$$