Решить x^2+25x+100=0

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

Найдите x

$$x=-20$$

$$x=-5$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+25x+100 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=25 ab=100$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 25.

$$a=5 b=20$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+5=0 и x+20=0у.

$$x=-5 x=-20$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+100. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 25.

$$a=5 b=20$$

Перепишите x^{2}+25x+100 как \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

Разложите x в первом и 20 в второй группе.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+5=0 и x+20=0у.

$$x=-5 x=-20$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 25 вместо b и 100 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

Возведите 25 в квадрат.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

Умножьте -4 на 100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

Прибавьте 625 к -400.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 225.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-25±15}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -25 к 15.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Разделите -10 на 2.

$$x=-5$$

Решите уравнение x=\frac{-25±15}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 15 из -25.

$$x=-\frac{40}{2}$$

Разделите -40 на 2.

$$x=-20$$

Уравнение решено.

$$x=-5 x=-20$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Вычтите 100 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

Если из 100 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+25x=-100$$

Деление 25, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{25}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{25}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{25}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

Прибавьте -100 к \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

Коэффициент x^{2}+25x+\frac{625}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

Вычтите \frac{25}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=-5 x=-20$$