Решить x^2+20x-2400=0

$${ x }^{ 2 } +20x-2400=0$$

Найдите x

$$x=-60$$

$$x=40$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+20x-2400 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=20 ab=-2400$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -2400.

$$-1,2400 -2,1200 -3,800 -4,600 -5,480 -6,400 -8,300 -10,240 -12,200 -15,160 -16,150 -20,120 -24,100 -25,96 -30,80 -32,75 -40,60 -48,50$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+2400=2399 -2+1200=1198 -3+800=797 -4+600=596 -5+480=475 -6+400=394 -8+300=292 -10+240=230 -12+200=188 -15+160=145 -16+150=134 -20+120=100 -24+100=76 -25+96=71 -30+80=50 -32+75=43 -40+60=20 -48+50=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 20.

$$a=-40 b=60$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-40\right)\left(x+60\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-40=0 и x+60=0у.

$$x=40 x=-60$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-2400. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=20 ab=1\left(-2400\right)=-2400$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -2400.

$$-1,2400 -2,1200 -3,800 -4,600 -5,480 -6,400 -8,300 -10,240 -12,200 -15,160 -16,150 -20,120 -24,100 -25,96 -30,80 -32,75 -40,60 -48,50$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+2400=2399 -2+1200=1198 -3+800=797 -4+600=596 -5+480=475 -6+400=394 -8+300=292 -10+240=230 -12+200=188 -15+160=145 -16+150=134 -20+120=100 -24+100=76 -25+96=71 -30+80=50 -32+75=43 -40+60=20 -48+50=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 20.

$$a=-40 b=60$$

Перепишите x^{2}+20x-2400 как \left(x^{2}-40x\right)+\left(60x-2400\right).

$$\left(x^{2}-40x\right)+\left(60x-2400\right)$$

Разложите x в первом и 60 в второй группе.

$$x\left(x-40\right)+60\left(x-40\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-40, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-40\right)\left(x+60\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-40=0 и x+60=0у.

$$x=40 x=-60$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+20x-2400=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 20 вместо b и -2400 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2400\right)}}{2}$$

Возведите 20 в квадрат.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2400\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -2400.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+9600}}{2}$$

Прибавьте 400 к 9600.

$$x=\frac{-20±\sqrt{10000}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 10000.

$$x=\frac{-20±100}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-20±100}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -20 к 100.

$$x=\frac{80}{2}$$

Разделите 80 на 2.

$$x=40$$

Решите уравнение x=\frac{-20±100}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 100 из -20.

$$x=-\frac{120}{2}$$

Разделите -120 на 2.

$$x=-60$$

Уравнение решено.

$$x=40 x=-60$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x-2400=0$$

Прибавьте 2400 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+20x-2400-\left(-2400\right)=-\left(-2400\right)$$

Если из -2400 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+20x=-\left(-2400\right)$$

Вычтите -2400 из 0.

$$x^{2}+20x=2400$$

Деление 20, коэффициент x термина, 2 для получения 10. Затем добавьте квадрат 10 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+20x+10^{2}=2400+10^{2}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$x^{2}+20x+100=2400+100$$

Прибавьте 2400 к 100.

$$x^{2}+20x+100=2500$$

Коэффициент x^{2}+20x+100. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=2500$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{2500}$$

Упростите.

$$x+10=50 x+10=-50$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$x=40 x=-60$$