Решить x^2+14x-2352=0

$${ x }^{ 2 } +14x-2352=0$$

Найдите x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+14x-2352 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=14 ab=-2352$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=-42 b=56$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-42=0 и x+56=0у.

$$x=42 x=-56$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-2352. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=14 ab=1\left(-2352\right)=-2352$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=-42 b=56$$

Перепишите x^{2}+14x-2352 как \left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right).

$$\left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right)$$

Разложите x в первом и 56 в второй группе.

$$x\left(x-42\right)+56\left(x-42\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-42, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-42=0 и x+56=0у.

$$x=42 x=-56$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 14 вместо b и -2352 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Возведите 14 в квадрат.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -2352.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+9408}}{2}$$

Прибавьте 196 к 9408.

$$x=\frac{-14±\sqrt{9604}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 9604.

$$x=\frac{-14±98}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±98}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -14 к 98.

$$x=\frac{84}{2}$$

Разделите 84 на 2.

$$x=42$$

Решите уравнение x=\frac{-14±98}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 98 из -14.

$$x=-\frac{112}{2}$$

Разделите -112 на 2.

$$x=-56$$

Уравнение решено.

$$x=42 x=-56$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Прибавьте 2352 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+14x-2352-\left(-2352\right)=-\left(-2352\right)$$

Если из -2352 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-2352\right)$$

Вычтите -2352 из 0.

$$x^{2}+14x=2352$$

Деление 14, коэффициент x термина, 2 для получения 7. Затем добавьте квадрат 7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Прибавьте 2352 к 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Коэффициент x^{2}+14x+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Упростите.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$x=42 x=-56$$