Решить x^2+12x=640

$${ x }^{ 2 } +12x=640$$

Найдите x

$$x=-32$$

$$x=20$$

Способ разложения на множители

Вычтите 640 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+12x-640 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=12 ab=-640$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -640 продукта.

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 12.

$$a=-20 b=32$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-20=0 и x+32=0.

$$x=20 x=-32$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 640 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-640. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=12 ab=1\left(-640\right)=-640$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -640 продукта.

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 12.

$$a=-20 b=32$$

Перепишите x^{2}+12x-640 как \left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 32 во второй группе.

$$x\left(x-20\right)+32\left(x-20\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-20, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-20=0 и x+32=0.

$$x=20 x=-32$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+12x=640$$

Вычтите 640 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+12x-640=640-640$$

Если из 640 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 12 вместо b и -640 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-640\right)}}{2}$$

Возведите 12 в квадрат.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-640\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -640.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+2560}}{2}$$

Прибавьте 144 к 2560.

$$x=\frac{-12±\sqrt{2704}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 2704.

$$x=\frac{-12±52}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-12±52}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -12 к 52.

$$x=\frac{40}{2}$$

Разделите 40 на 2.

$$x=20$$

Решите уравнение x=\frac{-12±52}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 52 из -12.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Разделите -64 на 2.

$$x=-32$$

Уравнение решено.

$$x=20 x=-32$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+12x=640$$

Разделите 12, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 6. Затем добавьте квадрат 6 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+12x+6^{2}=640+6^{2}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x^{2}+12x+36=640+36$$

Прибавьте 640 к 36.

$$x^{2}+12x+36=676$$

Разложите x^{2}+12x+36 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=676$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{676}$$

Упростите.

$$x+6=26 x+6=-26$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$x=20 x=-32$$