Решить x^2+left(-3x+10right)^2=20

$${ x }^{ 2 } + { \left(-3x+10 \right) }^{ 2 } =20$$

Найдите x

$$x=2$$

$$x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Объедините x^{2} и 9x^{2}, чтобы получить 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Вычтите 20 из 100, чтобы получить 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Разделите обе части на 10.

$$x^{2}-6x+8=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+8. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -6.

$$a=-4 b=-2$$

Перепишите x^{2}-6x+8 как \left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Разложите x в первом и -2 в второй группе.

$$x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и x-2=0у.

$$x=4 x=2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Объедините x^{2} и 9x^{2}, чтобы получить 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Вычтите 20 из 100, чтобы получить 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 10 вместо a, -60 вместо b и 80 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Возведите -60 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Умножьте -4 на 10.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-40\times 80}}{2\times 10}$$

Умножьте -40 на 80.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 10}$$

Прибавьте 3600 к -3200.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 10}$$

Извлеките квадратный корень из 400.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 10}$$

Число, противоположное -60, равно 60.

$$x=\frac{60±20}{2\times 10}$$

Умножьте 2 на 10.

$$x=\frac{60±20}{20}$$

Решите уравнение x=\frac{60±20}{20} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 60 к 20.

$$x=\frac{80}{20}$$

Разделите 80 на 20.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{60±20}{20} при условии, что ± — минус. Вычтите 20 из 60.

$$x=\frac{40}{20}$$

Разделите 40 на 20.

$$x=2$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Объедините x^{2} и 9x^{2}, чтобы получить 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Вычтите 100 из обеих частей уравнения.

$$10x^{2}-60x=20-100$$

Вычтите 100 из 20, чтобы получить -80.

$$10x^{2}-60x=-80$$

Разделите обе части на 10.

$$\frac{10x^{2}-60x}{10}=-\frac{80}{10}$$

Деление на 10 аннулирует операцию умножения на 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{10}\right)x=-\frac{80}{10}$$

Разделите -60 на 10.

$$x^{2}-6x=-\frac{80}{10}$$

Разделите -80 на 10.

$$x^{2}-6x=-8$$

Деление -6, коэффициент x термина, 2 для получения -3. Затем добавьте квадрат -3 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Прибавьте -8 к 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

Коэффициент x^{2}-6x+9. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Упростите.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$x=4 x=2$$