Решить x^2+2/3x-1/6=0

$${ x }^{ 2 } + \frac{ 2 }{ 3 } x- \frac{ 1 }{ 6 } =0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}\approx 0,193712943$$

$$x=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}\approx -0,86037961$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, \frac{2}{3} вместо b и -\frac{1}{6} вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2}$$

Возведите \frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -\frac{1}{6}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{2}{3}}}{2}$$

Прибавьте \frac{4}{9} к \frac{2}{3}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{10}{9}}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из \frac{10}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{10}}{3}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{10}}{3}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -\frac{2}{3} к \frac{\sqrt{10}}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{10}-2}{2\times 3}$$

Разделите \frac{-2+\sqrt{10}}{3} на 2.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{10}}{3}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \frac{\sqrt{10}}{3} из -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{10}-2}{2\times 3}$$

Разделите \frac{-2-\sqrt{10}}{3} на 2.

$$x=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}=0$$

Прибавьте \frac{1}{6} к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}-\left(-\frac{1}{6}\right)=-\left(-\frac{1}{6}\right)$$

Если из -\frac{1}{6} вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\left(-\frac{1}{6}\right)$$

Вычтите -\frac{1}{6} из 0.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{1}{6}$$

Деление \frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте \frac{1}{6} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{18}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{18}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{18}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{6} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{6}$$

Вычтите \frac{1}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$