Решить c^2-10c-125=0

$${ c }^{ 2 } -10c-125 = 0$$

Найдите c

$$c=5\sqrt{6}+5\approx 17,247448714$$

$$c=5-5\sqrt{6}\approx -7,247448714$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$c^{2}-10c-125=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -10 вместо b и -125 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$c=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-125\right)}}{2}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$c=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-125\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -125.

$$c=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+500}}{2}$$

Прибавьте 100 к 500.

$$c=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{600}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 600.

$$c=\frac{-\left(-10\right)±10\sqrt{6}}{2}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$c=\frac{10±10\sqrt{6}}{2}$$

Решите уравнение c=\frac{10±10\sqrt{6}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 10\sqrt{6}.

$$c=\frac{10\sqrt{6}+10}{2}$$

Разделите 10+10\sqrt{6} на 2.

$$c=5\sqrt{6}+5$$

Решите уравнение c=\frac{10±10\sqrt{6}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 10\sqrt{6} из 10.

$$c=\frac{10-10\sqrt{6}}{2}$$

Разделите 10-10\sqrt{6} на 2.

$$c=5-5\sqrt{6}$$

Уравнение решено.

$$c=5\sqrt{6}+5 c=5-5\sqrt{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$c^{2}-10c-125=0$$

Прибавьте 125 к обеим частям уравнения.

$$c^{2}-10c-125-\left(-125\right)=-\left(-125\right)$$

Если из -125 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$c^{2}-10c=-\left(-125\right)$$

Вычтите -125 из 0.

$$c^{2}-10c=125$$

Деление -10, коэффициент x термина, 2 для получения -5. Затем добавьте квадрат -5 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$c^{2}-10c+\left(-5\right)^{2}=125+\left(-5\right)^{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$c^{2}-10c+25=125+25$$

Прибавьте 125 к 25.

$$c^{2}-10c+25=150$$

Коэффициент c^{2}-10c+25. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(c-5\right)^{2}=150$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(c-5\right)^{2}}=\sqrt{150}$$

Упростите.

$$c-5=5\sqrt{6} c-5=-5\sqrt{6}$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$c=5\sqrt{6}+5 c=5-5\sqrt{6}$$