Решить left(x+3right)^3-x^3=279

$${ \left(x+3 \right) }^{ 3 } - { x }^{ 3 } =279$$

Найдите x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} для разложения \left(x+3\right)^{3}.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

Объедините x^{3} и -x^{3}, чтобы получить 0.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

Вычтите 279 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

Вычтите 279 из 27, чтобы получить -252.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

Разделите обе части на 9.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-28. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-4 b=7$$

Перепишите x^{2}+3x-28 как \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Разложите x в первом и 7 в второй группе.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и x+7=0у.

$$x=4 x=-7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} для разложения \left(x+3\right)^{3}.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

Объедините x^{3} и -x^{3}, чтобы получить 0.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

Вычтите 279 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

Вычтите 279 из 27, чтобы получить -252.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, 27 вместо b и -252 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Возведите 27 в квадрат.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-36\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -252.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729+9072}}{2\times 9}$$

Прибавьте 729 к 9072.

$$x=\frac{-27±\sqrt{9801}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 9801.

$$x=\frac{-27±99}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{-27±99}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{-27±99}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -27 к 99.

$$x=\frac{72}{18}$$

Разделите 72 на 18.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{-27±99}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 99 из -27.

$$x=-\frac{126}{18}$$

Разделите -126 на 18.

$$x=-7$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=-7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} для разложения \left(x+3\right)^{3}.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

Объедините x^{3} и -x^{3}, чтобы получить 0.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

Вычтите 27 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+27x=279-27$$

Вычтите 27 из 279, чтобы получить 252.

$$9x^{2}+27x=252$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}+27x}{9}=\frac{252}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\frac{27}{9}x=\frac{252}{9}$$

Разделите 27 на 9.

$$x^{2}+3x=\frac{252}{9}$$

Разделите 252 на 9.

$$x^{2}+3x=28$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 28 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=4 x=-7$$