Решить left(x+3right)^2+x^2=317

$${ \left(x+3 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } =317$$

Найдите x

$$x=-14$$

$$x=11$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Вычтите 317 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

Вычтите 317 из 9, чтобы получить -308.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}+3x-154=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-154. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=1\left(-154\right)=-154$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -154.

$$-1,154 -2,77 -7,22 -11,14$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+154=153 -2+77=75 -7+22=15 -11+14=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-11 b=14$$

Перепишите x^{2}+3x-154 как \left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right)$$

Разложите x в первом и 14 в второй группе.

$$x\left(x-11\right)+14\left(x-11\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-11\right)\left(x+14\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-11=0 и x+14=0у.

$$x=11 x=-14$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Вычтите 317 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

Вычтите 317 из 9, чтобы получить -308.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 6 вместо b и -308 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -308.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+2464}}{2\times 2}$$

Прибавьте 36 к 2464.

$$x=\frac{-6±\sqrt{2500}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 2500.

$$x=\frac{-6±50}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-6±50}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±50}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 50.

$$x=\frac{44}{4}$$

Разделите 44 на 4.

$$x=11$$

Решите уравнение x=\frac{-6±50}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 50 из -6.

$$x=-\frac{56}{4}$$

Разделите -56 на 4.

$$x=-14$$

Уравнение решено.

$$x=11 x=-14$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+6x=317-9$$

Вычтите 9 из 317, чтобы получить 308.

$$2x^{2}+6x=308$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{308}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{308}{2}$$

Разделите 6 на 2.

$$x^{2}+3x=\frac{308}{2}$$

Разделите 308 на 2.

$$x^{2}+3x=154$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=154+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=154+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 154 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{625}{4}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{25}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{25}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=11 x=-14$$