Решить left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Найдите x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}+22x+121, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Объедините x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Объедините 28x и -22x, чтобы получить 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Вычтите 121 из 196, чтобы получить 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Прибавьте 12x к обеим частям.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Объедините 6x и 12x, чтобы получить 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Вычтите 36 из обеих частей уравнения.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Вычтите 36 из 75, чтобы получить 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 18 вместо b и 39 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 18 в квадрат.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 324 к 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -18 к 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Разделите -18+4\sqrt{30} на -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Решите уравнение x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{30} из -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Разделите -18-4\sqrt{30} на -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Уравнение решено.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}+22x+121, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Объедините x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Объедините 28x и -22x, чтобы получить 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Вычтите 121 из 196, чтобы получить 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Прибавьте 12x к обеим частям.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Объедините 6x и 12x, чтобы получить 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Вычтите 75 из обеих частей уравнения.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Вычтите 75 из 36, чтобы получить -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Разделите 18 на -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Разделите -39 на -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Разделите -18, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -9. Затем добавьте квадрат -9 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Прибавьте 39 к 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Разложите x^{2}-18x+81 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Упростите.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$