Решить left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}-10x+25, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Объедините -12x и 10x, чтобы получить -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Вычтите 25 из 9, чтобы получить -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Прибавьте 23 к обеим частям.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

Чтобы вычислить 7, сложите -16 и 23.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -2 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

Прибавьте 4 к -84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из -80.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

Разделите 2+4i\sqrt{5} на 6.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 4i\sqrt{5} из 2.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

Разделите 2-4i\sqrt{5} на 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}-10x+25, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Объедините -12x и 10x, чтобы получить -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Вычтите 25 из 9, чтобы получить -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Прибавьте 16 к обеим частям.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

Чтобы вычислить -7, сложите -23 и 16.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Деление -\frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте -\frac{7}{3} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$