Решить left(2x-3right)^2=49

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } =49$$

Найдите x

$$x=5$$

$$x=-2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Вычтите 49 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Вычтите 49 из 9, чтобы получить -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Разделите обе части на 4.

$$x^{2}-3x-10=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -10.

$$1,-10 2,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-5 b=2$$

Перепишите x^{2}-3x-10 как \left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и x+2=0у.

$$x=5 x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Вычтите 49 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Вычтите 49 из 9, чтобы получить -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -12 вместо b и -40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -40.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+640}}{2\times 4}$$

Прибавьте 144 к 640.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 784.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±28}{2\times 4}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$x=\frac{12±28}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{12±28}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{12±28}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 28.

$$x=\frac{40}{8}$$

Разделите 40 на 8.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{12±28}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 28 из 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Разделите -16 на 8.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-12x=49-9$$

Вычтите 9 из 49, чтобы получить 40.

$$4x^{2}-12x=40$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{40}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{40}{4}$$

Разделите -12 на 4.

$$x^{2}-3x=\frac{40}{4}$$

Разделите 40 на 4.

$$x^{2}-3x=10$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 10 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Коэффициент x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=-2$$