Решить {left(1/4xright)}^2+{left(80/4-1/4xright)}^2=200

$${ \left( \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ 80 }{ 4 } - \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } =200$$

Найдите x

$$x=40$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Разложите \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Вычислите \frac{1}{4} в степени 2 и получите \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Разделите 80 на 4, чтобы получить 20.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

Объедините \frac{1}{16}x^{2} и \frac{1}{16}x^{2}, чтобы получить \frac{1}{8}x^{2}.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

Вычтите 200 из обеих частей уравнения.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x-200=0$$

Вычтите 200 из 400, чтобы получить 200.

$$\frac{1}{8}x^{2}+200-10x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x+200=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте \frac{1}{8} вместо a, -10 вместо b и 200 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Умножьте -4 на \frac{1}{8}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-\frac{1}{2}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Умножьте -\frac{1}{2} на 200.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Прибавьте 100 к -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times \frac{1}{8}}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10}{2\times \frac{1}{8}}$$

Умножьте 2 на \frac{1}{8}.

$$x=\frac{10}{\frac{1}{4}}$$

Разделите 10 на \frac{1}{4}, умножив 10 на величину, обратную \frac{1}{4}.

$$x=40$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Разложите \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Вычислите \frac{1}{4} в степени 2 и получите \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Разделите 80 на 4, чтобы получить 20.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

Объедините \frac{1}{16}x^{2} и \frac{1}{16}x^{2}, чтобы получить \frac{1}{8}x^{2}.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

Вычтите 400 из обеих частей уравнения.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=200-400$$

Вычтите 400 из 200, чтобы получить -200.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=-200$$

Умножьте обе части на 8.

$$\frac{\frac{1}{8}x^{2}-10x}{\frac{1}{8}}=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Деление на \frac{1}{8} аннулирует операцию умножения на \frac{1}{8}.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{\frac{1}{8}}\right)x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Разделите -10 на \frac{1}{8}, умножив -10 на величину, обратную \frac{1}{8}.

$$x^{2}-80x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Разделите -200 на \frac{1}{8}, умножив -200 на величину, обратную \frac{1}{8}.

$$x^{2}-80x=-1600$$

Деление -80, коэффициент x термина, 2 для получения -40. Затем добавьте квадрат -40 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-80x+\left(-40\right)^{2}=-1600+\left(-40\right)^{2}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$x^{2}-80x+1600=-1600+1600$$

Прибавьте -1600 к 1600.

$$x^{2}-80x+1600=0$$

Коэффициент x^{2}-80x+1600. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-40\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-40\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-40=0 x-40=0$$

Прибавьте 40 к обеим частям уравнения.

$$x=40 x=40$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=40$$