Решить {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Вычислить

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Действия по решению

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, умножив числитель и знаменатель на \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Учтите \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Возведите \sqrt{3} в квадрат. Возведите 1 в квадрат.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Вычтите 1 из 3, чтобы получить 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Перемножьте \sqrt{3}+1 и \sqrt{3}+1, чтобы получить \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 4, сложите 3 и 1.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Разделите каждый член 4+2\sqrt{3} на 2, чтобы получить 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Чтобы вычислить 7, сложите 4 и 3.

$$7+4\sqrt{3}$$

Разложите

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Действия по решению

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, умножив числитель и знаменатель на \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Учтите \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Возведите \sqrt{3} в квадрат. Возведите 1 в квадрат.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Вычтите 1 из 3, чтобы получить 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Перемножьте \sqrt{3}+1 и \sqrt{3}+1, чтобы получить \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 4, сложите 3 и 1.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Разделите каждый член 4+2\sqrt{3} на 2, чтобы получить 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Чтобы вычислить 7, сложите 4 и 3.

$$7+4\sqrt{3}$$