Решить left(u+1right)^2=2u^2+5u+3

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

Найдите u

$$u=-1$$

$$u=-2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Вычтите 2u^{2} из обеих частей уравнения.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Объедините u^{2} и -2u^{2}, чтобы получить -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Вычтите 5u из обеих частей уравнения.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Объедините 2u и -5u, чтобы получить -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Вычтите 3 из 1, чтобы получить -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -u^{2}+au+bu-2. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-1 b=-2$$

Перепишите -u^{2}-3u-2 как \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right).

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

Вынесите за скобки u в первой и 2 во второй группе.

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член -u-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -u-1=0 и u+2=0.

$$u=-1 u=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Вычтите 2u^{2} из обеих частей уравнения.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Объедините u^{2} и -2u^{2}, чтобы получить -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Вычтите 5u из обеих частей уравнения.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Объедините 2u и -5u, чтобы получить -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Вычтите 3 из 1, чтобы получить -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -3 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -2.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 9 к -8.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

Решите уравнение u=\frac{3±1}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 1.

$$u=\frac{4}{-2}$$

Разделите 4 на -2.

$$u=-2$$

Решите уравнение u=\frac{3±1}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из 3.

$$u=\frac{2}{-2}$$

Разделите 2 на -2.

$$u=-1$$

Уравнение решено.

$$u=-2 u=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Вычтите 2u^{2} из обеих частей уравнения.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Объедините u^{2} и -2u^{2}, чтобы получить -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Вычтите 5u из обеих частей уравнения.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Объедините 2u и -5u, чтобы получить -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$-u^{2}-3u=3-1$$

Вычтите 1 из 3, чтобы получить 2.

$$-u^{2}-3u=2$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

Разделите -3 на -1.

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

Разделите 2 на -1.

$$u^{2}+3u=-2$$

Разделите 3, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Прибавьте -2 к \frac{9}{4}.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Разложите u^{2}+3u+\frac{9}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Упростите.

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$u=-1 u=-2$$