Решить sqrt{x+5}=x+4

$$\sqrt{ x+5 } = x+4$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}\approx -2,381966011$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(x+4\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+5} в степени 2 и получите x+5.

$$x+5=\left(x+4\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+4\right)^{2}.

$$x+5=x^{2}+8x+16$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x+5-x^{2}=8x+16$$

Вычтите 8x из обеих частей уравнения.

$$x+5-x^{2}-8x=16$$

Объедините x и -8x, чтобы получить -7x.

$$-7x+5-x^{2}=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$-7x+5-x^{2}-16=0$$

Вычтите 16 из 5, чтобы получить -11.

$$-7x-11-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}-7x-11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -7 вместо b и -11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-44}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 49 к -44.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+7}{-2}$$

Разделите 7+\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{5} из 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{5}}{-2}$$

Разделите 7-\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2} x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$

Подставьте \frac{-\sqrt{5}-7}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x+5}=x+4.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-7}{2}+5}=\frac{-\sqrt{5}-7}{2}+4$$

Упростите. Значение x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{\sqrt{5}-7}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x+5}=x+4.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-7}{2}+5}=\frac{\sqrt{5}-7}{2}+4$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{5}-7}{2} удовлетворяет уравнению.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Уравнение \sqrt{x+5}=x+4 имеет уникальное решение.

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$