Решить sqrt{x+3}=x

$$\sqrt{ x+3 } =x$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{2} \approx 2,302775638$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=x^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+3} в степени 2 и получите x+3.

$$x+3=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x+3-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+x+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 1 вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 1 к 12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{13}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{13}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{13}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{-2}$$

Разделите -1+\sqrt{13} на -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{13}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{13} из -1.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{-2}$$

Разделите -1-\sqrt{13} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2} x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$

Подставьте \frac{1-\sqrt{13}}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x+3}=x.

$$\sqrt{\frac{1-\sqrt{13}}{2}+3}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$

Упростите. Значение x=\frac{1-\sqrt{13}}{2} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 13^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 13^{\frac{1}{2}}$$

Подставьте \frac{\sqrt{13}+1}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x+3}=x.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{13}+1}{2}+3}=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{13}+1}{2} удовлетворяет уравнению.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 13^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 13^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Уравнение \sqrt{x+3}=x имеет уникальное решение.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$