Решить sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

Найдите x

$$x=-2$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+3} в степени 2 и получите x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+6} в степени 2 и получите x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Объедините x и x, чтобы получить 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 9, сложите 3 и 6.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+11} в степени 2 и получите x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Вычтите 2x+9 из обеих частей уравнения.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 2x+9, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Объедините x и -2x, чтобы получить -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Вычтите 9 из 11, чтобы получить 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Разложите \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+3} в степени 2 и получите x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+6} в степени 2 и получите x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на x+3, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Используйте свойство дистрибутивности, умножив каждый член 4x+12 на каждый член x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Объедините 24x и 12x, чтобы получить 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Прибавьте 4x к обеим частям.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Объедините 36x и 4x, чтобы получить 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Вычтите 4 из 72, чтобы получить 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx+68. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 40.

$$a=6 b=34$$

Перепишите 3x^{2}+40x+68 как \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Разложите 3x в первом и 34 в второй группе.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+2=0 и 3x+34=0у.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Подставьте -\frac{34}{3} вместо x в уравнении \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. \sqrt{-\frac{34}{3}+3} выражение не определено, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Подставьте -2 вместо x в уравнении \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Упростите. Значение x=-2 удовлетворяет уравнению.

$$3=3$$

Уравнение \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} имеет уникальное решение.

$$x=-2$$