Решить sqrt{x}-x=1

$$\sqrt{ x } -x=1$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Действия по решению

Вычтите -x из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x}=1+x$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$x=\left(1+x\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(1+x\right)^{2}.

$$x=1+2x+x^{2}$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x-1=2x+x^{2}$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$x-1-2x=x^{2}$$

Объедините x и -2x, чтобы получить -x.

$$-x-1=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-x-1-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -1 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 1 к -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Разделите 1+i\sqrt{3} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{3} из 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Разделите 1-i\sqrt{3} на -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Подставьте \frac{-\sqrt{3}i-1}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x}-x=1.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}}-\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}=1$$

Упростите. Значение x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} не соответствует уравнению.

$$i\times 3^{\frac{1}{2}}=1$$

Подставьте \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x}-x=1.

$$\sqrt{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}-\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=1$$

Упростите. Значение x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Уравнение \sqrt{x}=x+1 имеет уникальное решение.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$