Решить sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Прибавьте 2x к обеим частям.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Объедините x и 2x, чтобы получить 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 3 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 9 к -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Разделите -3+\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{5} из -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Разделите -3-\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Подставьте \frac{3-\sqrt{5}}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Упростите. Значение x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Подставьте \frac{\sqrt{5}+3}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} удовлетворяет уравнению.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Уравнение \sqrt{x}=x-1 имеет уникальное решение.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$