Решить sqrt{4+2x-x^2}=x-2

$$\sqrt{ 4+2x- { x }^{ 2 } } =x-2$$

Найдите x

$$x=3$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{4+2x-x^{2}}\right)^{2}=\left(x-2\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{4+2x-x^{2}} в степени 2 и получите 4+2x-x^{2}.

$$4+2x-x^{2}=\left(x-2\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-2\right)^{2}.

$$4+2x-x^{2}=x^{2}-4x+4$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4+2x-x^{2}-x^{2}=-4x+4$$

Объедините -x^{2} и -x^{2}, чтобы получить -2x^{2}.

$$4+2x-2x^{2}=-4x+4$$

Прибавьте 4x к обеим частям.

$$4+2x-2x^{2}+4x=4$$

Объедините 2x и 4x, чтобы получить 6x.

$$4+6x-2x^{2}=4$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$4+6x-2x^{2}-4=0$$

Вычтите 4 из 4, чтобы получить 0.

$$6x-2x^{2}=0$$

Вынесите x за скобки.

$$x\left(6-2x\right)=0$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x=0 и 6-2x=0у.

$$x=0 x=3$$

Подставьте 0 вместо x в уравнении \sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2.

$$\sqrt{4+2\times 0-0^{2}}=0-2$$

Упростите. Значение x=0 не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$2=-2$$

Подставьте 3 вместо x в уравнении \sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2.

$$\sqrt{4+2\times 3-3^{2}}=3-2$$

Упростите. Значение x=3 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Уравнение \sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2 имеет уникальное решение.

$$x=3$$