Решить sqrt{3x+12}-1=sqrt{5x+9}

$$\sqrt{ 3x+12 } -1= \sqrt{ 5x+9 }$$

Найдите x

$$x=-1$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{3x+12} в степени 2 и получите 3x+12.

$$3x+12-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 13, сложите 12 и 1.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{5x+9} в степени 2 и получите 5x+9.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=5x+9$$

Вычтите 3x+13 из обеих частей уравнения.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-\left(3x+13\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 3x+13, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-3x-13$$

Объедините 5x и -3x, чтобы получить 2x.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x+9-13$$

Вычтите 13 из 9, чтобы получить -4.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x-4$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Разложите \left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Вычислите -2 в степени 2 и получите 4.

$$4\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{3x+12} в степени 2 и получите 3x+12.

$$4\left(3x+12\right)=\left(2x-4\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на 3x+12, используйте свойство дистрибутивности.

$$12x+48=\left(2x-4\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-4\right)^{2}.

$$12x+48=4x^{2}-16x+16$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$12x+48-4x^{2}=-16x+16$$

Прибавьте 16x к обеим частям.

$$12x+48-4x^{2}+16x=16$$

Объедините 12x и 16x, чтобы получить 28x.

$$28x+48-4x^{2}=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$28x+48-4x^{2}-16=0$$

Вычтите 16 из 48, чтобы получить 32.

$$28x+32-4x^{2}=0$$

Разделите обе части на 4.

$$7x+8-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+7x+8=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+8. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=-8=-8$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -8.

$$-1,8 -2,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=8 b=-1$$

Перепишите -x^{2}+7x+8 как \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right)$$

Разложите -x в первом и -1 в второй группе.

$$-x\left(x-8\right)-\left(x-8\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-8, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-8\right)\left(-x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-8=0 и -x-1=0у.

$$x=8 x=-1$$

Подставьте 8 вместо x в уравнении \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\times 8+12}-1=\sqrt{5\times 8+9}$$

Упростите. Значение x=8 не соответствует уравнению.

$$5=7$$

Подставьте -1 вместо x в уравнении \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\left(-1\right)+12}-1=\sqrt{5\left(-1\right)+9}$$

Упростите. Значение x=-1 удовлетворяет уравнению.

$$2=2$$

Уравнение \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9} имеет уникальное решение.

$$x=-1$$