Решить sqrt{2x-1}-1=sqrt{x-1}

$$\sqrt{ 2x-1 } -1= \sqrt{ x-1 }$$

Найдите x

$$x=5$$

$$x=1$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{2x-1}-1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-1} в степени 2 и получите 2x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 0, сложите -1 и 1.

$$2x-2\sqrt{2x-1}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x-1} в степени 2 и получите x-1.

$$2x-2\sqrt{2x-1}=x-1$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$-2\sqrt{2x-1}=x-1-2x$$

Объедините x и -2x, чтобы получить -x.

$$-2\sqrt{2x-1}=-x-1$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-1\right)^{2}$$

Разложите \left(-2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-1\right)^{2}$$

Вычислите -2 в степени 2 и получите 4.

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-1\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-1} в степени 2 и получите 2x-1.

$$4\left(2x-1\right)=\left(-x-1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на 2x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x-4=\left(-x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-x-1\right)^{2}.

$$8x-4=x^{2}+2x+1$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x-4-x^{2}=2x+1$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$8x-4-x^{2}-2x=1$$

Объедините 8x и -2x, чтобы получить 6x.

$$6x-4-x^{2}=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$6x-4-x^{2}-1=0$$

Вычтите 1 из -4, чтобы получить -5.

$$6x-5-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+6x-5=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=-\left(-5\right)=5$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=5 b=1$$

Перепишите -x^{2}+6x-5 как \left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки -x в -x^{2}+5x.

$$-x\left(x-5\right)+x-5$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и -x+1=0у.

$$x=5 x=1$$

Подставьте 5 вместо x в уравнении \sqrt{2x-1}-1=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-1=\sqrt{5-1}$$

Упростите. Значение x=5 удовлетворяет уравнению.

$$2=2$$

Подставьте 1 вместо x в уравнении \sqrt{2x-1}-1=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{2\times 1-1}-1=\sqrt{1-1}$$

Упростите. Значение x=1 удовлетворяет уравнению.

$$0=0$$

Список всех решений \sqrt{2x-1}-1=\sqrt{x-1}.

$$x=5 x=1$$