Решить sqrt{16+2x}*-4=2x

$$\sqrt{ 16+2x } \times -4=2x$$

Найдите x

$$x=4-4\sqrt{5}\approx -4,94427191$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{16+2x}\left(-4\right)\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Разложите \left(\sqrt{16+2x}\left(-4\right)\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{16+2x}\right)^{2}\left(-4\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{16+2x} в степени 2 и получите 16+2x.

$$\left(16+2x\right)\left(-4\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Вычислите -4 в степени 2 и получите 16.

$$\left(16+2x\right)\times 16=\left(2x\right)^{2}$$

Чтобы умножить 16+2x на 16, используйте свойство дистрибутивности.

$$256+32x=\left(2x\right)^{2}$$

Разложите \left(2x\right)^{2}.

$$256+32x=2^{2}x^{2}$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$256+32x=4x^{2}$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$256+32x-4x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-4x^{2}+32x+256=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -4 вместо a, 32 вместо b и 256 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\left(-4\right)\times 256}}{2\left(-4\right)}$$

Возведите 32 в квадрат.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\left(-4\right)\times 256}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте -4 на -4.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+16\times 256}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 16 на 256.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+4096}}{2\left(-4\right)}$$

Прибавьте 1024 к 4096.

$$x=\frac{-32±\sqrt{5120}}{2\left(-4\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 5120.

$$x=\frac{-32±32\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 2 на -4.

$$x=\frac{-32±32\sqrt{5}}{-8}$$

Решите уравнение x=\frac{-32±32\sqrt{5}}{-8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -32 к 32\sqrt{5}.

$$x=\frac{32\sqrt{5}-32}{-8}$$

Разделите -32+32\sqrt{5} на -8.

$$x=4-4\sqrt{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-32±32\sqrt{5}}{-8} при условии, что ± — минус. Вычтите 32\sqrt{5} из -32.

$$x=\frac{-32\sqrt{5}-32}{-8}$$

Разделите -32-32\sqrt{5} на -8.

$$x=4\sqrt{5}+4$$

Уравнение решено.

$$x=4-4\sqrt{5} x=4\sqrt{5}+4$$

Подставьте 4-4\sqrt{5} вместо x в уравнении \sqrt{16+2x}\left(-4\right)=2x.

$$\sqrt{16+2\left(4-4\sqrt{5}\right)}\left(-4\right)=2\left(4-4\sqrt{5}\right)$$

Упростите. Значение x=4-4\sqrt{5} удовлетворяет уравнению.

$$-8\times 5^{\frac{1}{2}}+8=8-8\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Подставьте 4\sqrt{5}+4 вместо x в уравнении \sqrt{16+2x}\left(-4\right)=2x.

$$\sqrt{16+2\left(4\sqrt{5}+4\right)}\left(-4\right)=2\left(4\sqrt{5}+4\right)$$

Упростите. Значение x=4\sqrt{5}+4 не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$-8\times 5^{\frac{1}{2}}-8=8\times 5^{\frac{1}{2}}+8$$

Уравнение -4\sqrt{2x+16}=2x имеет уникальное решение.

$$x=4-4\sqrt{5}$$