Решить sqrt{x^2-2x+10}+2x+1=0

$$\sqrt{ { x }^{ 2 } -2x+10 } +2x+1 = 0$$

Найдите x

$$x=-3$$

Действия по решению

Вычтите 2x+1 из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 2x+1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x^{2}-2x+10}\right)^{2}=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x^{2}-2x+10} в степени 2 и получите x^{2}-2x+10.

$$x^{2}-2x+10=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+10=4x^{2}+4x+1$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-2x+10-4x^{2}=4x+1$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+10=4x+1$$

Вычтите 4x из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}-2x+10-4x=1$$

Объедините -2x и -4x, чтобы получить -6x.

$$-3x^{2}-6x+10=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}-6x+10-1=0$$

Вычтите 1 из 10, чтобы получить 9.

$$-3x^{2}-6x+9=0$$

Разделите обе части на 3.

$$-x^{2}-2x+3=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-2 ab=-3=-3$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=1 b=-3$$

Перепишите -x^{2}-2x+3 как \left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Разложите x в первом и 3 в второй группе.

$$x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+1=0 и x+3=0у.

$$x=1 x=-3$$

Подставьте 1 вместо x в уравнении \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0.

$$\sqrt{1^{2}-2+10}+2\times 1+1=0$$

Упростите. Значение x=1 не соответствует уравнению.

$$6=0$$

Подставьте -3 вместо x в уравнении \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0.

$$\sqrt{\left(-3\right)^{2}-2\left(-3\right)+10}+2\left(-3\right)+1=0$$

Упростите. Значение x=-3 удовлетворяет уравнению.

$$0=0$$

Уравнение \sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1 имеет уникальное решение.

$$x=-3$$