Решить sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Найдите x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Наименьшим общим кратным чисел 2 и 4 является число 4. Преобразуйте числа \frac{1}{2} и \frac{1}{4} в дроби с знаменателем 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Поскольку числа \frac{2}{4} и \frac{1}{4} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Чтобы вычислить 3, сложите 2 и 1.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Наименьшим общим кратным чисел 4 и 8 является число 8. Преобразуйте числа \frac{3}{4} и \frac{1}{8} в дроби с знаменателем 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Поскольку числа \frac{6}{8} и \frac{1}{8} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Чтобы вычислить 7, сложите 6 и 1.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Наименьшим общим кратным чисел 8 и 16 является число 16. Преобразуйте числа \frac{7}{8} и \frac{1}{16} в дроби с знаменателем 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Поскольку числа \frac{14}{16} и \frac{1}{16} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Чтобы вычислить 15, сложите 14 и 1.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Вычислите \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} в степени 2 и получите \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, \frac{1}{2} вместо b и \frac{15}{16} вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к \frac{15}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -\frac{1}{2} к 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Разделите \frac{3}{2} на -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2 из -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Разделите -\frac{5}{2} на -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Подставьте -\frac{3}{4} вместо x в уравнении \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Упростите. Значение x=-\frac{3}{4} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Подставьте \frac{5}{4} вместо x в уравнении \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Упростите. Значение x=\frac{5}{4} удовлетворяет уравнению.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Уравнение \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x имеет уникальное решение.

$$x=\frac{5}{4}$$