Решить sqrt{y-1}+3=y

$$\sqrt { y - 1 } + 3 = y$$

Найдите y

$$y=5$$

Действия по решению

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{y-1}=y-3$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{y-1}\right)^{2}=\left(y-3\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{y-1} в степени 2 и получите y-1.

$$y-1=\left(y-3\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(y-3\right)^{2}.

$$y-1=y^{2}-6y+9$$

Вычтите y^{2} из обеих частей уравнения.

$$y-1-y^{2}=-6y+9$$

Прибавьте 6y к обеим частям.

$$y-1-y^{2}+6y=9$$

Объедините y и 6y, чтобы получить 7y.

$$7y-1-y^{2}=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$7y-1-y^{2}-9=0$$

Вычтите 9 из -1, чтобы получить -10.

$$7y-10-y^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-y^{2}+7y-10=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -y^{2}+ay+by-10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 10.

$$1,10 2,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+10=11 2+5=7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=5 b=2$$

Перепишите -y^{2}+7y-10 как \left(-y^{2}+5y\right)+\left(2y-10\right).

$$\left(-y^{2}+5y\right)+\left(2y-10\right)$$

Разложите -y в первом и 2 в второй группе.

$$-y\left(y-5\right)+2\left(y-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член y-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y-5\right)\left(-y+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-5=0 и -y+2=0у.

$$y=5 y=2$$

Подставьте 5 вместо y в уравнении \sqrt{y-1}+3=y.

$$\sqrt{5-1}+3=5$$

Упростите. Значение y=5 удовлетворяет уравнению.

$$5=5$$

Подставьте 2 вместо y в уравнении \sqrt{y-1}+3=y.

$$\sqrt{2-1}+3=2$$

Упростите. Значение y=2 не соответствует уравнению.

$$4=2$$

Уравнение \sqrt{y-1}=y-3 имеет уникальное решение.

$$y=5$$