Решить sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Найдите x

$$x=3$$

Действия по решению

Вычтите \sqrt{2x-2} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x-3} в степени 2 и получите x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-2} в степени 2 и получите 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Вычтите 2 из 4, чтобы получить 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Вычтите 2+2x из обеих частей уравнения.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 2+2x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Вычтите 2 из -3, чтобы получить -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Объедините x и -2x, чтобы получить -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Разложите \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Вычислите -4 в степени 2 и получите 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-2} в степени 2 и получите 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Чтобы умножить 16 на 2x-2, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Вычтите 32x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Объедините 10x и -32x, чтобы получить -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Прибавьте 32 к обеим частям.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Чтобы вычислить 57, сложите 25 и 32.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-22x+57 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-22 ab=57$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -22.

$$a=-19 b=-3$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-19=0 и x-3=0у.

$$x=19 x=3$$

Подставьте 19 вместо x в уравнении \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Упростите. Значение x=19 не соответствует уравнению.

$$10=2$$

Подставьте 3 вместо x в уравнении \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Упростите. Значение x=3 удовлетворяет уравнению.

$$2=2$$

Уравнение \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 имеет уникальное решение.

$$x=3$$