Решить sqrt{x-1}=x

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

Вычислите \sqrt{x-1} в степени 2 и получите x-1.

$$x-1=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x-1-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 1 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 1 к -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Разделите -1+i\sqrt{3} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{3} из -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

Разделите -1-i\sqrt{3} на -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Подставьте \frac{-\sqrt{3}i+1}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Упростите. Значение x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} не соответствует уравнению.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{1+\sqrt{3}i}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Упростите. Значение x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} удовлетворяет уравнению.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Уравнение \sqrt{x-1}=x имеет уникальное решение.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$