Решить sqrt{x}=x+2

$$\sqrt { x } = x + 2$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}\approx -1,5+1,322875656i$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x+2\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$x=\left(x+2\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+2\right)^{2}.

$$x=x^{2}+4x+4$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x-x^{2}=4x+4$$

Вычтите 4x из обеих частей уравнения.

$$x-x^{2}-4x=4$$

Объедините x и -4x, чтобы получить -3x.

$$-3x-x^{2}=4$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$-3x-x^{2}-4=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}-3x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -3 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 9 к -16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{3±\sqrt{7}i}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{3±\sqrt{7}i}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к i\sqrt{7}.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{-2}$$

Разделите 3+i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{3±\sqrt{7}i}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{7} из 3.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{-2}$$

Разделите 3-i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}$$

Подставьте \frac{-\sqrt{7}i-3}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x}=x+2.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}}=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}+2$$

Упростите. Значение x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2} не соответствует уравнению.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 7^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 7^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{-3+\sqrt{7}i}{2} вместо x в уравнении \sqrt{x}=x+2.

$$\sqrt{\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}}=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}+2$$

Упростите. Значение x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2} удовлетворяет уравнению.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 7^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 7^{\frac{1}{2}}$$

Уравнение \sqrt{x}=x+2 имеет уникальное решение.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}$$