Решить sqrt{x}+sqrt{x+1}=3

$$\sqrt { x } + \sqrt { x + 1 } = 3$$

Найдите x

$$x = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1,777777778$$

Действия по решению

Вычтите \sqrt{x+1} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x}=3-\sqrt{x+1}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$x=\left(3-\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(3-\sqrt{x+1}\right)^{2}.

$$x=9-6\sqrt{x+1}+\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+1} в степени 2 и получите x+1.

$$x=9-6\sqrt{x+1}+x+1$$

Чтобы вычислить 10, сложите 9 и 1.

$$x=10-6\sqrt{x+1}+x$$

Прибавьте 6\sqrt{x+1} к обеим частям.

$$x+6\sqrt{x+1}=10+x$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$x+6\sqrt{x+1}-x=10$$

Объедините x и -x, чтобы получить 0.

$$6\sqrt{x+1}=10$$

Разделите обе части на 6.

$$\sqrt{x+1}=\frac{10}{6}$$

Привести дробь \frac{10}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$\sqrt{x+1}=\frac{5}{3}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$x+1=\frac{25}{9}$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x+1-1=\frac{25}{9}-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x=\frac{25}{9}-1$$

Вычтите 1 из \frac{25}{9}.

$$x=\frac{16}{9}$$

Подставьте \frac{16}{9} вместо x в уравнении \sqrt{x}+\sqrt{x+1}=3.

$$\sqrt{\frac{16}{9}}+\sqrt{\frac{16}{9}+1}=3$$

Упростите. Значение x=\frac{16}{9} удовлетворяет уравнению.

$$3=3$$

Уравнение \sqrt{x}=-\sqrt{x+1}+3 имеет уникальное решение.

$$x=\frac{16}{9}$$