Решить sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x^{2}-1} в степени 2 и получите x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x+1} в степени 2 и получите 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Вычтите 1 из -1, чтобы получить -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -2 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Прибавьте 4 к 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Разделите 2+2\sqrt{3} на 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{3} из 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Разделите 2-2\sqrt{3} на 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Подставьте \sqrt{3}+1 вместо x в уравнении \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Упростите. Значение x=\sqrt{3}+1 удовлетворяет уравнению.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Подставьте 1-\sqrt{3} вместо x в уравнении \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Упростите. Значение x=1-\sqrt{3} удовлетворяет уравнению.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Список всех решений \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Найдите x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x^{2}-1} в степени 2 и получите x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x+1} в степени 2 и получите 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Вычтите 1 из -1, чтобы получить -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -2 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Прибавьте 4 к 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Разделите 2+2\sqrt{3} на 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{3} из 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Разделите 2-2\sqrt{3} на 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Подставьте \sqrt{3}+1 вместо x в уравнении \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Упростите. Значение x=\sqrt{3}+1 удовлетворяет уравнению.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Подставьте 1-\sqrt{3} вместо x в уравнении \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} выражение не определено, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Уравнение \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} имеет уникальное решение.

$$x=\sqrt{3}+1$$