Решить sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

Найдите x

$$x=-2$$

Действия по решению

Вычтите -7 из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x^{2}+2x+9} в степени 2 и получите x^{2}+2x+9.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

Вычтите 28x из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

Объедините 2x и -28x, чтобы получить -26x.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

Вычтите 49 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

Вычтите 49 из 9, чтобы получить -40.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -3x^{2}+ax+bx-40. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -26.

$$a=-6 b=-20$$

Перепишите -3x^{2}-26x-40 как \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

Разложите 3x в первом и 20 в второй группе.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x-2=0 и 3x+20=0у.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

Подставьте -2 вместо x в уравнении \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

Упростите. Значение x=-2 удовлетворяет уравнению.

$$-4=-4$$

Подставьте -\frac{20}{3} вместо x в уравнении \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

Упростите. Значение x=-\frac{20}{3} не соответствует уравнению.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

Уравнение \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 имеет уникальное решение.

$$x=-2$$