Решить sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Найдите x

$$x=9$$

Действия по решению

Вычтите -\sqrt{13-x} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+7} в степени 2 и получите x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{13-x} в степени 2 и получите 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Чтобы вычислить 17, сложите 4 и 13.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Вычтите 17-x из обеих частей уравнения.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 17-x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Вычтите 17 из 7, чтобы получить -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Объедините x и x, чтобы получить 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Разложите \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Вычислите 4 в степени 2 и получите 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{13-x} в степени 2 и получите 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Чтобы умножить 16 на 13-x, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Вычтите 208 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Вычтите 208 из 100, чтобы получить -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Прибавьте 16x к обеим частям.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Объедините -40x и 16x, чтобы получить -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Разделите обе части на 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-27. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -27.

$$1,-27 3,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -6.

$$a=-9 b=3$$

Перепишите x^{2}-6x-27 как \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Разложите x в первом и 3 в второй группе.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+3=0у.

$$x=9 x=-3$$

Подставьте 9 вместо x в уравнении \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Упростите. Значение x=9 удовлетворяет уравнению.

$$2=2$$

Подставьте -3 вместо x в уравнении \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Упростите. Значение x=-3 не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$-2=2$$

Подставьте 9 вместо x в уравнении \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Упростите. Значение x=9 удовлетворяет уравнению.

$$2=2$$

Уравнение \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 имеет уникальное решение.

$$x=9$$