Решить sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 9 x + 70 } = - 2 \sqrt { x + 9 }$$

Найдите x

$$x=-5$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+6} в степени 2 и получите x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{9x+70} в степени 2 и получите 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Объедините x и 9x, чтобы получить 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 76, сложите 6 и 70.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Разложите \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Вычислите -2 в степени 2 и получите 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+9} в степени 2 и получите x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

Чтобы умножить 4 на x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Вычтите 10x+76 из обеих частей уравнения.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 10x+76, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Объедините 4x и -10x, чтобы получить -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Вычтите 76 из 36, чтобы получить -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Разложите \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Вычислите -2 в степени 2 и получите 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+6} в степени 2 и получите x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{9x+70} в степени 2 и получите 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на x+6, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Используйте свойство дистрибутивности, умножив каждый член 4x+24 на каждый член 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Объедините 280x и 216x, чтобы получить 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-6x-40\right)^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Вычтите 36x^{2} из обеих частей уравнения.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Объедините 36x^{2} и -36x^{2}, чтобы получить 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Вычтите 480x из обеих частей уравнения.

$$496x+1680-480x=1600$$

Объедините 496x и -480x, чтобы получить 16x.

$$16x+1680=1600$$

Вычтите 1680 из обеих частей уравнения.

$$16x=1600-1680$$

Вычтите 1680 из 1600, чтобы получить -80.

$$16x=-80$$

Разделите обе части на 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Разделите -80 на 16, чтобы получить -5.

$$x=-5$$

Подставьте -5 вместо x в уравнении \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Упростите. Значение x=-5 удовлетворяет уравнению.

$$-4=-4$$

Уравнение \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} имеет уникальное решение.

$$x=-5$$