Решить sqrt{x+5}+sqrt{2x+8}=1

$$\sqrt { x + 5 } + \sqrt { 2 x + 8 } = 1$$

Найдите x

$$x=-4$$

Действия по решению

Вычтите \sqrt{2x+8} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x+5}=1-\sqrt{2x+8}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+5} в степени 2 и получите x+5.

$$x+5=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x+8} в степени 2 и получите 2x+8.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+2x+8$$

Чтобы вычислить 9, сложите 1 и 8.

$$x+5=9-2\sqrt{2x+8}+2x$$

Вычтите 9+2x из обеих частей уравнения.

$$x+5-\left(9+2x\right)=-2\sqrt{2x+8}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 9+2x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$x+5-9-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Вычтите 9 из 5, чтобы получить -4.

$$x-4-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Объедините x и -2x, чтобы получить -x.

$$-x-4=-2\sqrt{2x+8}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-x-4\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-x-4\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Разложите \left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Вычислите -2 в степени 2 и получите 4.

$$x^{2}+8x+16=4\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x+8} в степени 2 и получите 2x+8.

$$x^{2}+8x+16=4\left(2x+8\right)$$

Чтобы умножить 4 на 2x+8, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}+8x+16=8x+32$$

Вычтите 8x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+8x+16-8x=32$$

Объедините 8x и -8x, чтобы получить 0.

$$x^{2}+16=32$$

Вычтите 32 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+16-32=0$$

Вычтите 32 из 16, чтобы получить -16.

$$x^{2}-16=0$$

Учтите x^{2}-16. Перепишите x^{2}-16 как x^{2}-4^{2}. Разность квадратов можно разложить с помощью правила: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и x+4=0у.

$$x=4 x=-4$$

Подставьте 4 вместо x в уравнении \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{4+5}+\sqrt{2\times 4+8}=1$$

Упростите. Значение x=4 не соответствует уравнению.

$$7=1$$

Подставьте -4 вместо x в уравнении \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{-4+5}+\sqrt{2\left(-4\right)+8}=1$$

Упростите. Значение x=-4 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Уравнение \sqrt{x+5}=-\sqrt{2x+8}+1 имеет уникальное решение.

$$x=-4$$