Решить sqrt{x+10}-sqrt{15-x}=1

$$\sqrt { x + 10 } - \sqrt { 15 - x } = 1$$

Найдите x

$$x=6$$

Действия по решению

Вычтите -\sqrt{15-x} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x+10}=1+\sqrt{15-x}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x+10}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{15-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x+10} в степени 2 и получите x+10.

$$x+10=\left(1+\sqrt{15-x}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(1+\sqrt{15-x}\right)^{2}.

$$x+10=1+2\sqrt{15-x}+\left(\sqrt{15-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{15-x} в степени 2 и получите 15-x.

$$x+10=1+2\sqrt{15-x}+15-x$$

Чтобы вычислить 16, сложите 1 и 15.

$$x+10=16+2\sqrt{15-x}-x$$

Вычтите 16-x из обеих частей уравнения.

$$x+10-\left(16-x\right)=2\sqrt{15-x}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 16-x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$x+10-16+x=2\sqrt{15-x}$$

Вычтите 16 из 10, чтобы получить -6.

$$x-6+x=2\sqrt{15-x}$$

Объедините x и x, чтобы получить 2x.

$$2x-6=2\sqrt{15-x}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(2x-6\right)^{2}=\left(2\sqrt{15-x}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-6\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=\left(2\sqrt{15-x}\right)^{2}$$

Разложите \left(2\sqrt{15-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=2^{2}\left(\sqrt{15-x}\right)^{2}$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(\sqrt{15-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{15-x} в степени 2 и получите 15-x.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(15-x\right)$$

Чтобы умножить 4 на 15-x, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}-24x+36=60-4x$$

Вычтите 60 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-24x+36-60=-4x$$

Вычтите 60 из 36, чтобы получить -24.

$$4x^{2}-24x-24=-4x$$

Прибавьте 4x к обеим частям.

$$4x^{2}-24x-24+4x=0$$

Объедините -24x и 4x, чтобы получить -20x.

$$4x^{2}-20x-24=0$$

Разделите обе части на 4.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-6. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -6.

$$1,-6 2,-3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-6 b=1$$

Перепишите x^{2}-5x-6 как \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки x в x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и x+1=0у.

$$x=6 x=-1$$

Подставьте 6 вместо x в уравнении \sqrt{x+10}-\sqrt{15-x}=1.

$$\sqrt{6+10}-\sqrt{15-6}=1$$

Упростите. Значение x=6 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Подставьте -1 вместо x в уравнении \sqrt{x+10}-\sqrt{15-x}=1.

$$\sqrt{-1+10}-\sqrt{15-\left(-1\right)}=1$$

Упростите. Значение x=-1 не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$-1=1$$

Подставьте 6 вместо x в уравнении \sqrt{x+10}-\sqrt{15-x}=1.

$$\sqrt{6+10}-\sqrt{15-6}=1$$

Упростите. Значение x=6 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Уравнение \sqrt{x+10}=\sqrt{15-x}+1 имеет уникальное решение.

$$x=6$$