Решить sqrt{a^2-4a+20}=sqrt{a}

$$\sqrt { a ^ { 2 } - 4 a + 20 } = \sqrt { a }$$

Найдите a

$$a=2\sqrt{5}e^{\arctan(\frac{\sqrt{55}}{5})i}\approx 2,5+3,708099244i$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{a^{2}-4a+20}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{a^{2}-4a+20} в степени 2 и получите a^{2}-4a+20.

$$a^{2}-4a+20=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{a} в степени 2 и получите a.

$$a^{2}-4a+20=a$$

Вычтите a из обеих частей уравнения.

$$a^{2}-4a+20-a=0$$

Объедините -4a и -a, чтобы получить -5a.

$$a^{2}-5a+20=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -5 вместо b и 20 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 20}}{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 20}}{2}$$

Умножьте -4 на 20.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-80}}{2}$$

Прибавьте 25 к -80.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-55}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -55.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{55}i}{2}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}$$

Решите уравнение a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к i\sqrt{55}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2}$$

Решите уравнение a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{55} из 5.

$$a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Уравнение решено.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Подставьте \frac{5+\sqrt{55}i}{2} вместо a в уравнении \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{5+\sqrt{55}i}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5+\sqrt{55}i}{2}+20}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{55}i}{2}}$$

Упростите. Значение a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} удовлетворяет уравнению.

$$\frac{1}{2}\left(10+2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Подставьте \frac{-\sqrt{55}i+5}{2} вместо a в уравнении \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}\right)^{2}-4\times \frac{-\sqrt{55}i+5}{2}+20}=\sqrt{\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}}$$

Упростите. Значение a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2} удовлетворяет уравнению.

$$\frac{1}{2}\left(10-2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Список всех решений \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$