Решить sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Найдите x

$$x=2$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{7x+67} в степени 2 и получите 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+5\right)^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Вычтите 20x из обеих частей уравнения.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Объедините 7x и -20x, чтобы получить -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Вычтите 25 из 67, чтобы получить 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -4x^{2}+ax+bx+42. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -13.

$$a=8 b=-21$$

Перепишите -4x^{2}-13x+42 как \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Разложите 4x в первом и 21 в второй группе.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+2=0 и 4x+21=0у.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Подставьте 2 вместо x в уравнении \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Упростите. Значение x=2 удовлетворяет уравнению.

$$9=9$$

Подставьте -\frac{21}{4} вместо x в уравнении \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Упростите. Значение x=-\frac{21}{4} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

Уравнение \sqrt{7x+67}=2x+5 имеет уникальное решение.

$$x=2$$