Решить sqrt{6x-1}-sqrt{5x+4}=9

$$\sqrt { 6 x - 1 } - \sqrt { 5 x + 4 } = 9$$

Найдите x

$$x=18\sqrt{2459}+896\approx 1788,589491312$$

Действия по решению

Вычтите -\sqrt{5x+4} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{6x-1}=9+\sqrt{5x+4}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{6x-1}\right)^{2}=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{6x-1} в степени 2 и получите 6x-1.

$$6x-1=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{5x+4} в степени 2 и получите 5x+4.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+5x+4$$

Чтобы вычислить 85, сложите 81 и 4.

$$6x-1=85+18\sqrt{5x+4}+5x$$

Вычтите 85+5x из обеих частей уравнения.

$$6x-1-\left(85+5x\right)=18\sqrt{5x+4}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 85+5x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$6x-1-85-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Вычтите 85 из -1, чтобы получить -86.

$$6x-86-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Объедините 6x и -5x, чтобы получить x.

$$x-86=18\sqrt{5x+4}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(x-86\right)^{2}=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-86\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Разложите \left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=18^{2}\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Вычислите 18 в степени 2 и получите 324.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{5x+4} в степени 2 и получите 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(5x+4\right)$$

Чтобы умножить 324 на 5x+4, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}-172x+7396=1620x+1296$$

Вычтите 1620x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-172x+7396-1620x=1296$$

Объедините -172x и -1620x, чтобы получить -1792x.

$$x^{2}-1792x+7396=1296$$

Вычтите 1296 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-1792x+7396-1296=0$$

Вычтите 1296 из 7396, чтобы получить 6100.

$$x^{2}-1792x+6100=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1792 вместо b и 6100 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{\left(-1792\right)^{2}-4\times 6100}}{2}$$

Возведите -1792 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-4\times 6100}}{2}$$

Умножьте -4 на 6100.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-24400}}{2}$$

Прибавьте 3211264 к -24400.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3186864}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 3186864.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±36\sqrt{2459}}{2}$$

Число, противоположное -1792, равно 1792.

$$x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1792 к 36\sqrt{2459}.

$$x=\frac{36\sqrt{2459}+1792}{2}$$

Разделите 1792+36\sqrt{2459} на 2.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$

Решите уравнение x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 36\sqrt{2459} из 1792.

$$x=\frac{1792-36\sqrt{2459}}{2}$$

Разделите 1792-36\sqrt{2459} на 2.

$$x=896-18\sqrt{2459}$$

Уравнение решено.

$$x=18\sqrt{2459}+896 x=896-18\sqrt{2459}$$

Подставьте 18\sqrt{2459}+896 вместо x в уравнении \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Упростите. Значение x=18\sqrt{2459}+896 удовлетворяет уравнению.

$$9=9$$

Подставьте 896-18\sqrt{2459} вместо x в уравнении \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(896-18\sqrt{2459}\right)-1}-\sqrt{5\left(896-18\sqrt{2459}\right)+4}=9$$

Упростите. Значение x=896-18\sqrt{2459} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$99-2\times 2459^{\frac{1}{2}}=9$$

Подставьте 18\sqrt{2459}+896 вместо x в уравнении \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Упростите. Значение x=18\sqrt{2459}+896 удовлетворяет уравнению.

$$9=9$$

Уравнение \sqrt{6x-1}=\sqrt{5x+4}+9 имеет уникальное решение.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$